Calculadora de Probabilidad Binomial

Qué hace esta calculadora

La calculadora de probabilidad binomial evalúa la distribución binomial para n ensayos independientes, cada uno con probabilidad de éxito p. Calcula la probabilidad exacta para cuatro modos de evento: exactamente k éxitos, al menos k éxitos (cola acumulada superior), cómo máximo k éxitos (cola acumulada inferior) y un rango desde k hasta un valor final especificado. Junto con la probabilidad solicitada, la herramienta muestra la función de masa de probabilidad completa en una ventana configurable de resultados, el valor esperado (μ = np), la desviación estándar (σ = √(np(1−p))) y una aproximación normal con un indicador de precisión.

El modelo binomial

La distribución binomial modela un número fijo n de ensayos independientes, cada uno con exactamente dos resultados posibles (éxito o fracaso) y una probabilidad de éxito constante p. Responde preguntas del tipo: dado n intentos independientes, cada uno con probabilidad p de éxito, ¿cuál es la probabilidad de observar exactamente k (o al menos k, o cómo máximo k) éxitos? Los supuestos clave son la independencia entre ensayos y una p constante a lo largo de todos ellos: la violación de cualquiera de estos supuestos hace que la distribución binomial sea un ajuste deficiente.

Desglose de fórmulas

• C(n,k) es el coeficiente binomial: el número de formas distintas en que pueden ocurrir k éxitos en n ensayos.
• La acumulada P(X ≥ k) suma las probabilidades exactas de k a n.
• La acumulada P(X ≤ k) suma las probabilidades exactas de 0 a k.
• La aproximación normal μ ± z·σ es fiable cuando np ≥ 5 y n(1−p) ≥ 5.

Interpretar resultados

• Una probabilidad cercana a 0 significa que el evento es muy poco probable en un único experimento con n ensayos. Para interpretar con qué frecuencia ocurriría en muchos experimentos repetidos, considera su recíproco.
• La ventana de la función de masa de probabilidad muestra qué valores de resultado tienen mayor peso de probabilidad. El pico de la distribución se sitúa cerca del valor esperado np.
• La etiqueta de precisión de la aproximación normal indica si la aproximación es fiable para tus valores de n y p. Cuando se marca cómo débil, usa únicamente el resultado binomial exacto.
• El campo de umbral de percentil permite encontrar el menor k tal que P(X ≤ k) supera un percentil dado, lo cual es útil para establecer umbrales de confianza o límites de riesgo.

Escenarios reales

• Control de calidad: con una tasa de defectos del 2% y un lote de 100 artículos, ¿cuál es la probabilidad de encontrar 5 o más defectos? Usa el modo al-menos con n=100, p=0,02, k=5.
• Pruebas A/B: si una variante de control convierte al 10% y ejecutas 50 ensayos, ¿cuál es la probabilidad de que la variante de tratamiento vea 8 o más conversiones solo por azar? Usa el modo al-menos para establecer límites de significancia.
• Análisis deportivo: un jugador de baloncesto encesta el 75% de los tiros libres. En 10 intentos, ¿cuál es la probabilidad exacta de encestar exactamente 8? Usa el modo exactamente con n=10, p=0,75, k=8.
• Pruebas de software: si cada caso de prueba tiene un 5% de probabilidad de encontrar un error y ejecutas 20 pruebas, ¿cuál es la probabilidad de encontrar al menos un error? Usa el modo al-menos con k=1.

Casos límite

• p = 0: P(X=0) = 1, el resto de probabilidades son 0. Nunca ocurrirán éxitos.
• p = 1: P(X=n) = 1, el resto de probabilidades son 0. Todos los ensayos tendrán éxito.
• k > n: evento imposible: la probabilidad es 0.
• n muy grande (cientos o miles): el cálculo exacto usa aritmética en espacio logarítmico para evitar desbordamiento. Los resultados permanecen numéricamente estables.
• Aproximación normal cuando np < 5 o n(1−p) < 5: la herramienta lo indica y la aproximación no debería usarse.